Demostraciones Matemáticas

Axiomas de los números reales

Publicado: 29/03/2019 21:07:07

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A continuación mostramos los axiomas fundamentales de los números reales.

Para cualesquiera números reales a, b, y c se verifican las siguientes propiedades:

        Axiomas de la suma
A1. a + b = b + a. Propiedad conmutativa
A2. (a + b) + c = a + (b + c). Propiedad asociativa
A3. Existe el único real 0, tal que a + 0 = a, para todo a. Propiedad del elemento neutro
A4. Para todo a, existe un único número -a, tal que a + (-a) = 0. Propiedad del inverso aditivo

Definimos la resta como: a - b = a + (-b).

        Axiomas de la multiplicación
M1. a * b = b * a. Propiedad conmutativa
M2. (a * b) * c = a * (b * c). Propiedad asociativa
M3. Existe el único real 1 != 0, tal que a * 1 = a, para todo a. Propiedad del elemento neutro
M4. Para todo a != 0, existe un único número a ^ -1, tal que a * a ^ -1 = 1. Propiedad del inverso multiplicativo

Definimos la división como: a / b = a * b ^ -1 = a * 1 / b.

D. a * (b + c) = a * b + a * c. Propiedad distributiva

        Axiomas de orden
O1. Una y solo una de las siguientes relaciones es cierta: a < b, a = b, b < a. Propiedad de tricotomía
O2. a < b y b < c => a < c. Propiedad transitiva
O3. a < b => a + c < b + c, para cualquier número c. Propiedad aditiva
O4. a < b y 0 < c => a * c < b * c. Propiedad multiplicativa

        Axioma de completitud o axioma del supremo        
Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente, tiene supremo.
Esto significa que si X es un conjunto no vacío de números reales y existe una constante C, tal que para
todo x en X, x <= C, entonces existe una constante C', llamada supremo de X, tal que x <= C' y C' <= C.
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