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Un número primo divide a un número natural n, si y solo si, divide a su cuadrado

Publicado: 24/09/2020 11:15:27

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Teorema: Un número primo p, divide a un número natura n >= 2, si y solo si, divide a n2

Demostración:
(=>)
        p | n => n = p * n0 =>
        n2 = p * p * n0 * n0 =>
        n2 = p * k =>
        p | n2

(<=)
        Por el teorema fundamental de la aritmética, sabemos que la descomposición en factores primos de un número natural es única (salvo el orden de los factores), por lo tanto
        n2 = n * n = (p1 * p2 * ... * pk) * (p1 * p2 * ... * pk), y como
        p | n2 y es primo, será igual a alguno de los pi, 1 <= i <= k, o sea que
        p | n. []
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