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Combinaciones con repetición de n elementos tomados de r en r

Publicado: 15/12/2020 22:01:15

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Teorema: El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de r en r, viene dado por la fórmula

              (n - 1 + r)!
    RCn, r =  ------------
              (n - 1)! r!


Demostración: Supongamos que queremos hallar las combinaciones con repetición de las dos letras A y B, tomadas de 3 en 3, podríamos representarlas así:

    1 2 3 4
    -------
    A A A 0
    0 B B B
    A A 0 B
    A 0 B B

donde el 0 (cero), hace de separador para las clases de elementos A y B, de esto deducimos que si tenemos n elementos, necesitaremos (n - 1) separadores cero.
Si nos fijamos en los número de la fila superior, los cuales indican la posición de cada letra en la combinación, tenemos que las posiciones ocupadas por cada una de las cuatro combinaciones son:

    1, 2, 3
    2, 3, 4
    1, 2, 4
    1, 3, 4

que son precisamente, las combinaciones ordinarias de (n - 1 + r) elementos, tomados de r en r, que para nuestro ejemplo son las combinaciones de (2 - 1 + 3) = 4 elementos, tomados de 3 en 3.
Teniendo en cuenta que la fórmula de las combinaciones ordinarias es

                  n!
    Cn, r =  ------------
              (n - r)! r!

podemos generalizar la fórmula para las combinaciones con repetición, dados cualesquiera n, y r, con n >= 1, y r >= 0, para obtener finalmente

              (n - 1 + r)!
    RCn, r =  ------------
              (n - 1)! r!


Una demostración más formal de este teorema, requiere el uso de inducción.
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