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Ayuda sobre la Calculadora de Lógica Proposicional

Publicado: 30/06/2019 09:01:25

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Las proposiciones lógicas las vamos a dividir en simples (atómicas) o compuestas. Una proposición simple no puede descomponerse en más proposiciones, mientras que una compuesta se puede descomponer en al menos otra proposición simple:

p es una proposición simple

(¬p) es una proposición compuesta, pues puede descomponerse en la proposición simple p

[(p ∧ q) ∨ (¬r)], es compuesta, p, q y r son sus proposiciones simples


Una proposición simple tiene un valor de verdad que denotaremos por 0 (falsa) o 1 (verdadera), también se pueden usar las letras F (falsa) y V (verdadera), cualquier otra letra o palabra se considerará una proposición simple. Como caso especial de proposiciones simples son las propias constantes de verdad (0, 1) para valores numéricos como valor de verdad, o (F, V) para valores alfabéticos como valor de verdad, si en una proposición aparece una constante de verdad, su valor en la tabla de verdad es siempre ella misma.

Una proposición compuesta tiene una tabla de verdad o una colección de valores de verdad, uno para cada uno de las proposiciones simples que la componen.

La tabla de verdad de la proposición p ∧ q es:
-----------
|p|q|p ∧ q|
-----------
|V|V|  V  |
|V|F|  F  |
|F|V|  F  |
|F|F|  F  |
-----------


Si designamos por letras o palabras las proposiciones a, b, .., p, q, etc. y los valores de verdad por 0 o F para falso, y 1 o V para verdadero, podemos construir proposiciones compuestas con las conectivas lógicas. A continuación se muestran las conectivas lógicas básicas por orden de precedencia y su correspondiente tabla de verdad:

¬ (negación) conectiva lógica no ... . Ejemplo:

------
|a|¬a|
------
|V| F|
|F| V|
------


∧ (conjunción) conectiva lógica ... y .... Ejemplo:

-----------
|a|b|a ∧ b|
-----------
|V|V|  V  |
|V|F|  F  |
|F|V|  F  |
|F|F|  F  |
-----------


⊻ (disyunción exclusiva) conectiva lógica ... o bien .... Ejemplo:

-----------
|a|b|a ⊻ b|
-----------
|V|V|  F  |
|V|F|  V  |
|F|V|  V  |
|F|F|  F  |
-----------


∨ (disyunción) conectiva lógica ... o ... (o inclusiva). Ejemplo:

-----------
|a|b|a ∨ b|
-----------
|V|V|  V  |
|V|F|  V  |
|F|V|  V  |
|F|F|  F  |
-----------


→ (implicación o condicional) conectiva lógica si ..., entonces ... . Ejemplo:

-----------
|a|b|a → b|
-----------
|V|V|  V  |
|V|F|  F  |
|F|V|  V  |
|F|F|  V  |
-----------


↔ (equivalencia o bicondicional) conectiva lógica ..., si y solo si ... . Ejemplo:

-----------
|a|b|a ↔ b|
-----------
|V|V|  V  |
|V|F|  F  |
|F|V|  F  |
|F|F|  V  |
-----------


Las proposiciones se pueden agrupar con paréntesis ( ), corchetes [] o llaves {}, cada paréntesis de apertura debe tener su correspondiente de cierre.

A una proposición compuesta se le puede dar un nombre en la forma NOMBRE = proposición donde nombre es un identificador alfabético generalmente en mayúsculas y proposición su definición como proposición simple o compuesta.

Por ejemplo:

-----------------------
|a|b|c|P = (a ∧ b) → c|
-----------------------
|V|V|V|       V       |
|V|V|F|       F       |
|V|F|V|       V       |
|V|F|F|       V       |
|F|V|V|       V       |
|F|V|F|       V       |
|F|F|V|       V       |
|F|F|F|       V       |
-----------------------


Si se quieren visualizar más de una proposición se separarán
con comas, por ejemplo, P = (a ∧ b) → c, c → (a ∨ b):

-----------------------------------
|a|b|c|P = (a ∧ b) → c|c → (a ∨ b)|
-----------------------------------
|V|V|V|       V       |     V     |
|V|V|F|       F       |     V     |
|V|F|V|       V       |     V     |
|V|F|F|       V       |     V     |
|F|V|V|       V       |     V     |
|F|V|F|       V       |     V     |
|F|F|V|       V       |     F     |
|F|F|F|       V       |     V     |
-----------------------------------


El orden de evaluación es el siguiente:

1. Nombres de proposición, constantes lógicas y expresiones entre paréntesis
2. ¬ (negación)
3. ∧ (conjunción)
4. ⊻ (disyunción exclusiva)
4. ∨ (disyunción inclusiva)
5. → (condicional)
6. ↔ (bicondicional)



Como ejemplo copie y pegue lo siguiente en en cuadro de texto Expresión lógica:

a ∨ b, a ∧ b, ¬ a, P = a → b, Q = b → a, a ↔ b, P ∧ Q

Pulse el botón Evaluar para obtener la tabla de verdad, que debe ser la siguiente:

----------------------------------------------------
|a|b|a ∨ b|a ∧ b|¬a|P = a → b|Q = b → a|a ↔ b|P ∧ Q|
----------------------------------------------------
|V|V|  V  |  V  | F|    V    |    V    |  V  |  V  |
|V|F|  V  |  F  | F|    F    |    V    |  F  |  F  |
|F|V|  V  |  F  | V|    V    |    F    |  F  |  F  |
|F|F|  F  |  F  | V|    V    |    V    |  V  |  V  |
----------------------------------------------------


Observe como las proposición compuesta P ∧ Q es equivalente a la proposición compuesta a ↔ b. Una proposición es equivalente a otra si ambas están formadas por las mismas proposiciones simples y además son iguales sus tablas de verdad. Como habrá podido comprobar se puede definir una proposición compuesta a través de una letra como ha sido el caso de P = a → b, o de forma directa como en a ∨ b, sin embargo es más útil el uso de letras pues simplifica la construcción de proposiciones compuestas.

Ahora vamos a demostrar la equivalencia entre las proposiciones
(a → b) y (¬ b → ¬ a)

Esta equivalencia sienta las bases para el famoso método de demostración por el contrarrecíproco.
Copie y pegue lo siguiente en en cuadro de texto Expresión lógica:
a → b, ¬b → ¬a

Evalúela y observe como son proposiciones equivalentes:

-------------------
|a|b|a → b|¬b → ¬a|
-------------------
|V|V|  V  |   V   |
|V|F|  F  |   F   |
|F|V|  V  |   V   |
|F|F|  V  |   V   |
-------------------


Por último vamos a demostrar la equivalencia entre las proposiciones
(p → q) y {[p ∧ (¬ q)] → 0}

Esta equivalencia sienta las bases para el famoso método de demostración por reducción al absurdo.
Copie y pegue lo siguiente en en cuadro de texto Expresión lógica:

(p → q), {[p ∧ (¬ q)] → 0}

Asegúrese de seleccionar en el desplegable Valor de verdad: 1 (Verdadero), 0 (Falso), para que se permita la introducción de constantes numéricas de verdad, por último evalúela y observe como son proposiciones equivalentes:

--------------------------------
|p|q|0|(p → q)|{[p ∧ (¬q)] → 0}|
--------------------------------
|1|1|0|   1   |        1       |
|1|1|0|   1   |        1       |
|1|0|0|   0   |        0       |
|1|0|0|   0   |        0       |
|0|1|0|   1   |        1       |
|0|1|0|   1   |        1       |
|0|0|0|   1   |        1       |
|0|0|0|   1   |        1       |
--------------------------------


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