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Axiomas de los números reales

Publicado: 04/05/2019 13:35:47

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A continuación mostramos los axiomas fundamentales de los números reales.

Para cualesquiera números reales a, b, y c se verifican las siguientes propiedades:

                Axiomas de la suma
1. a + b = b + a. Propiedad conmutativa

2. (a + b) + c = a + (b + c). Propiedad asociativa

3. Existe el único real 0, tal que a + 0 = a, para todo a. Propiedad del elemento neutro

4. Para todo a, existe un único número -a, tal que a + (-a) = 0. Propiedad del inverso aditivo

Definimos la resta como: a - b = a + (-b).

                Axiomas de la multiplicación
5. a * b = b * a. Propiedad conmutativa

6. (a * b) * c = a * (b * c). Propiedad asociativa

7. Existe el único real 1 != 0, tal que a * 1 = a, para todo a. Propiedad del elemento neutro

8. Para todo a != 0, existe un único número a ^ -1, tal que a * a ^ -1 = 1. Propiedad del inverso multiplicativo

Definimos la división como: a / b = a * b ^ -1 = a * 1 / b, con b != 0.

9. a * (b + c) = a * b + a * c. Propiedad distributiva

                Axiomas de orden
10. Una y solo una de las siguientes relaciones es cierta: a < b, a = b, b < a. Propiedad de tricotomía

11. a < b y b < c => a < c. Propiedad transitiva

12. a < b => a + c < b + c, para cualquier número c. Propiedad aditiva

13. a < b y 0 < c => a * c < b * c. Propiedad multiplicativa

                Axioma de completitud o axioma del supremo        
14. Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente, tiene supremo. Esto significa que si X es un conjunto no vacío de números reales y existe una constante C, tal que para todo x en X, x <= C, entonces existe una constante C', llamada supremo de X, tal que x <= C' <= C, pero C' puede pertenecer o no a X.

                Axioma del elemento mínimo
15. Todo conjunto no vacío de números enteros acotado inferiormente, tiene un mínimo. Es decir, si S es un subconjunto no vacío de enteros y existe un entero n0', tal que para todo n en S, n0' <= n, entonces existe un elemento n0 en S, llamado mínimo de S, tal que para todo n en S, n0 <= n.
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